“面目次第もありません”中的“次第”用法如下：

作为结尾词：

表示“一……立即……”之意。例如：

新しい情報が入り次第、臨時ﾆｭｰｽをお送りします。（一有新消息，我们就插播临时新闻。）

そちらにつき次第、ご連絡ください。（一到那边，请立即联系。）

接续助词：

接在动词连用形或ｻ变动词词干之后，表示前面动作一旦完成，就立即投入后面的动作。可以翻译为“立即”“马上”“一挨……就……”“一旦……就……”。例如：

終わった次第、帰宅します。（结束就马上回家。）

名词：

表示“次序”“顺序”“程序”。例如：

式の次第は会场に掲示する。（仪式的程序将公布在会场里。）

このような次第で诚にすみません。（由于这样的情况，实在对不起。）

综上所述，“面目次第もありません”中的“次第”作为结尾词，表示“一……立即……”之意。