李逵杀死李鬼的原因主要有以下几点：

被欺骗：

李鬼假扮成李逵拦路抢劫，并欺骗李逵说自己上有老母下有妻儿，不得已才来抢劫。李逵信以为真，并给了李鬼一些银子让他回去好好做人。后来李逵发现李鬼家中并没有老母亲，李鬼是在欺骗自己。

坏了名声：

李逵非常在意自己的名声，李鬼穿着破衣服、脸上涂着墨、拿着假板斧，让人耻笑，坏了李逵的名声。李逵认为李鬼的低劣手段传到江湖上会让他蒙羞，因此他决定杀死李鬼。

李鬼的诡计：

在李逵放过李鬼后，李鬼与其妻设计毒杀李逵，后被李逵识破，将其杀之。

综合以上几点，李逵杀死李鬼的主要原因是因为被李鬼欺骗和坏了自己的名声。李逵在得知李鬼的谎言后，忍无可忍，最终将其杀害。