旋转矩阵是线性代数中用于描述三维空间向量旋转的重要工具，其核心原理基于矩阵乘法和线性变换。以下是详细解析：
一、基本定义与性质
旋转矩阵的作用 旋转矩阵通过矩阵乘法实现向量在三维空间中的旋转，保持向量长度不变但改变方向。
正交矩阵特性
旋转矩阵是正交矩阵，满足以下条件：
行列式为1（或-1，此时包含反射）
列向量两两正交且为单位向量
逆矩阵等于转置矩阵
特征值与旋转角
三维旋转矩阵的特征值为1（对应不动轴）、$e^{i\theta}$和$e^{-i\theta}$，迹数（主对角线元素之和）为$1 + 2\cos\theta$，可用于快速计算旋转角。
二、绕坐标轴旋转矩阵
绕Z轴旋转（Roll）
旋转矩阵$R_z（\theta）$公式为：
$$
R_z(\theta) = \begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta & 0 \\
\sin\theta & \cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$
适用于绕Z轴旋转$\theta$角度。
绕X轴旋转（Pitch）
旋转矩阵$R_x（\theta）$公式为：
$$
R_x(\theta) = \begin{bmatrix}
1 & 0 & \sin\theta \\
0 & 1 & 0 \\
-\sin\theta & 0 & \cos\theta
\end{bmatrix}
$$
适用于绕X轴旋转$\theta$角度。
绕Y轴旋转（Yaw）
旋转矩阵$R_y（\theta）$公式为：
$$
R_y(\theta) = \begin{bmatrix}
\cos\theta & 0 & \sin\theta \\
0 & 1 & 0 \\
-\sin\theta & 0 & \cos\theta
\end{bmatrix}
$$
适用于绕Y轴旋转$\theta$角度。
三、矩阵乘法应用
向量$v$绕Z轴旋转后的新坐标$v'$计算公式为：
$$
v' = R_z(\theta) \cdot v
$$
类似地，绕X轴或Y轴旋转时，只需将对应轴的旋转矩阵与向量相乘。
四、扩展应用领域
计算机图形学： 用于三维模型渲染和动画 工程学与物理学
技术分析：通过旋转矩阵构造技术指标（如股票价格旋转指标）
五、注意事项
旋转矩阵不包含反演操作，仅改变坐标系方向
实际应用中需注意角度单位（弧度或度数）
通过以上解析，可见旋转矩阵是描述三维旋转的通用工具，其原理基于线性代数，应用领域广泛且理论严谨。
