行列式是线性代数中一个非常重要的概念，其性质在理论和应用中都有重要意义。以下是行列式的主要性质，综合整理如下：

一、基本性质

转置性质

行列式与其转置行列式的值相等，即 $D = D^T$。这一性质表明行列式的行与列具有同等地位。

交换行（列）变号

交换行列式的两行（列），行列式的值变号。若交换 $i$ 行和 $j$ 行，则新行列式为 $（-1）^{i+j}D$。

数乘性质

若行列式某一行（列）中的元素都乘以同一个数 $k$，则行列式的值等于原来的行列式乘以 $k$。即 $|kA| = k^n|A|$，其中 $n$ 为行列式的阶数。

倍加性质

把行列式某一行（列）的元素乘以同一个数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变。

零行（列）性质

若行列式中有两行（列）元素全为0，则行列式的值为0。

单位矩阵行列式

单位矩阵的行列式值为1，即 $|I| = 1$。

二、其他重要性质

比例性质

若行列式中有两行（列）元素对应成比例，则行列式的值为0。

拆分性质

若行列式某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和。例如，若第 $i$ 行元素为 $a_{i1} + b_{i1}$ 和 $a_{i2} + b_{i2}$，则原行列式可拆分为两个行列式之和。

三角矩阵性质

- 上三角矩阵的行列式等于其主对角线上元素的乘积，即 $|A| = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$。

- 下三角矩阵的行列式同样等于其主对角线上元素的乘积。

行列式为0的推论

- 若行列式某一行（列）有公因子 $k$，则可提取公因子；若两行（列）对应成比例或完全相同，则行列式为0。

三、特殊说明

行列式的几何意义：

二阶行列式表示平行四边形的面积，三阶行列式表示平行六面体的体积。数乘性质和拆分性质可理解为几何图形的线性变换。

置换矩阵行列式：置换矩阵的行列式为 $（-1）^k$，其中 $k$ 为行交换次数。例如，交换两次行时，行列式为1；交换奇数次时，行列式为-1。

以上性质为行列式计算和理论分析提供了重要工具，建议结合具体问题灵活运用。