平均数增长率的推导过程可以通过以下步骤进行：

一、定义与基本公式

平均数的基本公式

平均数 = 总量 ÷ 份数

设基期总量为 $A$，基期份数为 $B$，则基期平均数 $\bar{A} = \frac{A}{B}$。

现期平均数的计算

若现期总量增长率为 $a\%$，份数增长率为 $b\%$，则现期总量为 $A \times （1 + \frac{a}{100}）$，现期份数为 $B \times （1 + \frac{b}{100}）$。 现期平均数 $\bar{B} = \frac{A \times （1 + \frac{a}{100}）}{B \times （1 + \frac{b}{100}）}$。

二、增长率的计算

增长率公式

增长率 = $\frac{\text{现期量} - \text{基期量}}{\text{基期量}}$

将现期平均数和基期平均数代入，得到：

$$

r = \frac{\bar{B} - \bar{A}}{\bar{A}} = \frac{\frac{A \times (1 + \frac{a}{100})}{B \times (1 + \frac{b}{100})} - \frac{A}{B}}{\frac{A}{B}}

$$

化简公式

通过化简上述表达式，最终得到：

$$

r = \frac{(1 + \frac{a}{100}) - (1 + \frac{b}{100})}{1 + \frac{b}{100}} = \frac{a\%}{1 + b\%}

$$

进一步整理为：

$$

r = \frac{a - b}{1 + b}

$$

这即为平均数增长率的标准公式。

三、注意事项

正负号处理：

当增长率 $b$ 为负（即下降）时，公式仍适用，无需改变符号。

实际应用：该公式适用于分子（如总量）和分母（如份数）有独立增长率的情况，例如人口增长与经济总量增长的关系。

通过以上步骤，可以系统推导出平均数增长率的公式，并理解其内在逻辑。