两点间距离公式是平面直角坐标系中计算两点之间距离的基本公式，其核心内容及应用如下：

一、公式表达式

设平面内两点 $A（x_1, y_1）$ 和 $B（x_2, y_2）$，则两点间的距离公式为：

$$

d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}

$$

其中，$d$ 表示点 $A$ 与点 $B$ 之间的直线距离。

二、公式推导与性质

勾股定理的应用

通过过 $A$ 点作 $x$ 轴平行线，过 $B$ 点作 $y$ 轴平行线，两线交点为 $C$，构成直角三角形 $ACB$。根据勾股定理：

$$

AB^2 = AC^2 + BC^2 \Rightarrow d = \sqrt{AC^2 + BC^2}

$$

其中 $AC = |x_1 - x_2|$，$BC = |y_1 - y_2|$。

坐标轴特殊情形

- 当 $x_1 = x_2$ 时，距离简化为 $|y_1 - y_2|$；

- 当 $y_1 = y_2$ 时，距离简化为 $|x_1 - x_2|$。

几何意义

公式反映了点与点之间直线距离的度量，是解析几何中距离度量的基础。

三、扩展应用

空间两点距离

在三维空间中，设点 $A（x_1, y_1, z_1）$ 和 $B（x_2, y_2, z_2）$，距离公式扩展为：

$$

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}

$$

该公式通过两次勾股定理推导得出。

直线上的两点距离

若两点在直线 $y = kx + b$ 上，距离公式可表示为：

$$

d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 \sec^2\alpha + (y_1 - y_2)^2}

$$

其中 $\alpha$ 为直线倾斜角，$k = \tan\alpha$。

四、公式应用示例

计算点 $A（1, 2）$ 与 $B（4, 6）$ 之间的距离：

$$

d = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5

$$

五、总结

两点间距离公式是解析几何的核心工具，通过勾股定理推导，可灵活应用于平面和空间距离计算，并衍生出直线距离、倾斜角等几何性质。