直线方程的五种形式主要包括以下几种，每种形式适用于不同的场景：

一、点斜式

公式：$y - y_0 = k（x - x_0）$

适用范围：已知直线过点 $（x_0, y_0）$ 且斜率为 $k$（不垂直于x轴）。 示例：过点 $（2,1）$ 且斜率为 $1$ 的直线方程为 $y - 1 = 1（x - 2）$，即 $x - y + 1 = 0$。

二、斜截式

公式：$y = kx + b$

适用范围：已知直线斜率 $k$ 且y轴截距为 $b$（不垂直于x轴）。 示例：斜率为 $2$，y轴截距为 $3$ 的直线方程为 $y = 2x + 3$。

三、两点式

公式：$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$

适用范围：已知直线过两点 $（x_1, y_1）$ 和 $（x_2, y_2）$（两点不重合且不垂直于坐标轴）。 示例：过点 $（1,2）$ 和 $（3,4）$ 的直线方程为 $\frac{y - 2}{4 - 2} = \frac{x - 1}{3 - 1}$，即 $y = x + 1$。

四、截距式

公式：$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$

适用范围：已知直线在x轴截距为 $a$，y轴截距为 $b$（不过原点且不垂直于坐标轴）。 示例：x轴截距为 $2$，y轴截距为 $3$ 的直线方程为 $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1$，即 $3x + 2y - 6 = 0$。

五、一般式

公式：$Ax + By + C = 0$

适用范围：适用于所有直线（包括垂直于坐标轴的直线）。 特点：

当 $B = 0$ 时，表示垂直于x轴的直线 $x = a$；

当 $A = 0$ 时，表示垂直于y轴的直线 $y = b$。 示例：过点 $（1, -1）$ 且垂直于x轴的直线方程为 $x = 1$，即 $1x + 0y - 1 = 0$。

总结

| 形式 | 公式 | 适用场景 | 特殊说明 |

|------------|-------------------------------|-----------------------------------|------------------------------|

| 点斜式 | $y - y_0 = k（x - x_0）$| 已知一点和斜率（不垂直x轴）| 斜率不存在时需单独表示|

| 斜截式 | $y = kx + b$ | 已知斜率和y轴截距（不垂直x轴）| 斜率不存在时需单独表示 |

| 两点式 | $\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$ | 已知两点（不垂直坐标轴）| 需排除两点重合或垂直坐标轴的情况 |

| 截距式 | $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ | 已知x轴和y轴截距（不过原点）| 截距为0时需单独表示 |

| 一般式 | $Ax + By + C = 0$ | 所有直线 | 斜率不存在时 $B=0$，垂直x轴时 $A=0