方差的计算公式根据应用场景和数据类型有所不同，主要分为两种形式：

一、总体方差（Population Variance）

当数据代表整个总体时，使用以下公式：

$$

\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2

$$

其中：

$\sigma^2$ 表示总体方差

$N$ 表示总体容量

$x_i$ 表示第 $i$ 个观测值

$\mu$ 表示总体均值

二、样本方差（Sample Variance）

当数据为样本时，使用以下两种常见公式：

无偏估计公式（分母为 $n-1$）：

$$

s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2

$$

其中 $\bar{x}$ 是样本均值，$n$ 是样本容量。分母为 $n-1$ 而非 $n$ 可以避免样本量较小时对总体方差的系统性偏差。

有偏估计公式（分母为 $n$）：

$$

s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2

$$

该公式计算简单，但会低估总体方差，适用于大样本情况。

三、补充说明

方差的性质

1. 非负性：$s^2 \geq 0$，且当所有数据相等时取等号；

2. 线性变换性质：若 $Y = aX + b$，则 $D（Y） = a^2D（X）$。

应用场景

方差广泛应用于质量控制、金融分析、工程等领域，用于衡量数据的离散程度或波动性。例如，生产过程中产品质量的稳定性评估、股票价格的波动分析等。

建议根据具体问题选择合适的公式，并注意样本量较小时使用无偏估计公式以获得更准确的总体估计。