斐波那契数列的通项公式是数学中一个经典的结果，用于直接计算数列中的任意一项。该公式由数学家莱昂纳多·斐波那契在1202年提出，现有多个等价形式，其中最常用的是以下两种：

一、闭式公式（比内公式）

$$

a_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right]

$$

其中，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 和 $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ 被称为斐波那契数列的两个黄金比例根，记作 $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 和 $\psi = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$。

二、矩阵快速幂公式

利用矩阵乘法的特性，斐波那契数列的通项公式可表示为：

$$

a_n = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}^n \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}

$$

通过矩阵快速幂算法，可在 $O（\log n）$ 时间复杂度内计算第 $n$ 项。

公式特性

无理数与整数的统一：

尽管公式中包含无理数 $\sqrt{5}$，但计算结果始终为整数，体现了数学的美妙性。

应用广泛：

除数学领域外，斐波那契数列还应用于物理、计算机科学、生物学等领域。

推导方法补充

特征方程法：通过解线性递推关系的特征方程 $x^2 = x + 1$，可得通项公式。

矩阵对角化法：利用矩阵 $B = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$ 的特征值和特征向量，通过矩阵快速幂计算。

以上公式为斐波那契数列的研究提供了强大工具，可高效解决大规模计算问题。