曲率半径是描述曲线弯曲程度的一个重要几何量，其定义和性质如下：

一、基本定义

曲率半径与曲率的关系

曲率半径是曲率的倒数，即

$$R = \frac{1}{K}$$

其中，$K$ 表示曲率，单位为 $\frac{1}{米}$。

几何意义

曲率半径表示曲线在某一点附近用圆弧近似时的半径。对于圆，曲率半径等于圆的半径；对于直线，曲率半径为无穷大（$\infty$）。

二、物理与几何应用

平面曲线

- 圆：

所有点的曲率半径等于圆的半径。

- 直线：曲率为0，曲率半径未定义或为无穷大。

空间曲面

曲率半径需在特定截面（如法向截面）上定义，表示该截面内最密切圆的半径。

三、关键性质

局部性

同一曲线在不同点可能有不同的曲率半径。例如，螺旋线在靠近螺旋中心时曲率半径较小，远离中心时增大。

计算方法

- 微分几何公式：

$$K = \frac{|x'y'' - x''y'|}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}}$$

则曲率半径为：

$$R = \frac{(x'^2 + y'^2)^{3/2}}{|x'y'' - x''y'|}$$。

四、补充说明

密接圆：与曲线在某点曲率相等的圆称为密切圆，其半径即为该点的曲率半径。

物理场景：在光学、工程学等领域，曲率半径用于描述透镜、管道等物体的弯曲特性。

通过以上定义和性质，曲率半径为分析曲线的弯曲行为提供了重要工具，尤其在微分几何和工程应用中具有广泛意义。