函数的周期性是指 当自变量增大任意实数时，函数值有规律的重复出现。具体来说，如果存在一个非零常数T，使得当自变量x取定义域内的任何值时，f（x + T） = f（x） 恒成立，那么函数f（x）就被称为周期函数，而T则被称为这个函数的一个周期。

周期函数的性质

周期性：

若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。

整数倍周期：

若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。

和差周期：

若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。

最小正周期：

若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。

求函数周期的方法

代数法：

设函数f（x）的周期为T，即f（x+T） = f（x）；将x替换为x+T，得到f（x+2T） = f（x）；重复此过程，得到f（x+nT） = f（x），其中n为任意正整数；如果存在一个最小的正整数n，使得f（x+nT） = f（x）对所有x成立，则T为函数f（x）的周期。

观察法：

对于一些简单的函数，可以通过观察其图像来判断其周期性。如果函数图像在水平方向上呈现出重复的规律，那么这个函数很可能是周期函数。

求导法：

对于一些周期函数，可以通过求导来判断其周期性。设函数f（x）的周期为T，即f（x+T） = f（x）；对f（x）求导，得到f'（x）；如果f'（x）也是周期函数，且周期相同，则T为f（x）的周期。

示例

正弦函数和余弦函数：它们的周期为T=2π（k∈Z且k≠0）。

狄利克雷函数：周期函数不一定有最小正周期。

结论

周期函数是数学中一种重要的函数类型，其定义和性质在代数学、解析几何等领域有着广泛的应用。通过上述方法可以判断和求出许多函数的周期。