高等数学中十大定理公式是数学分析的核心内容，以下为综合整理的核心定理与公式：

一、微积分基本定理

牛顿-莱布尼兹公式

$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$

其中$F（x）$是$f（x）$的一个原函数。

积分中值定理

若$f（x）$在$[a, b]$上连续，则存在$\xi \in （a, b）$，使得

$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = f(\xi)(b - a)$$

说明积分值等于函数在某点值与区间长度的乘积。

二、极限与连续性

函数极限定义

$$\lim_{x \to c} f(x) = L \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ 使得 } |f(x) - L| < \epsilon \text{ 当 } 0 < |x - c| < \delta$$

描述函数在某点的趋近行为。

连续性定理

函数在某点连续的充要条件是左右极限存在且相等，即

$$\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c)$$

连续函数在闭区间上存在最大值和最小值。

三、导数与微分

费马定理（费马引理）

若函数$f（x）$在$\xi$处可导且取得极值，则$f'（\xi） = 0$。 例如，$f（x） = x^2$在$x=0$处取得极小值，且$f'（0）=0$。

罗尔定理

若函数$f（x）$在$[a, b]$上连续，在$（a, b）$可导，且$f（a） = f（b）$，则存在$\xi \in （a, b）$，使得$f'（\xi） = 0$。 例如，$f（x） = （x-1）^2$在$[0, 2]$上满足条件，$\xi=1$。

四、中值定理扩展

拉格朗日中值定理

若$f（x）$在$[a, b]$上连续，在$（a, b）$可导，则存在$\xi \in （a, b）$，使得

$$f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a)$$

例如，$f（x） = x^3$在$[0, 1]$上满足条件，$\xi=\frac{1}{2}$。

柯西中值定理

若函数$f（x）$和$g（x）$在$[a, b]$上连续，在$（a, b）$可导，且$g'（x） \neq 0$，则存在$\xi \in （a, b）$，使得

$$\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$$

例如，$f（x） = \sin x$，$g（x） = x$在$[0, \pi]$上满足条件。

五、级数与微分方程

泰勒公式

函数$f（x）$在$x=a$处的泰勒展开式为：

$$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)$$

用于近似计算和函数分析。

常微分方程解的存在唯一性定理

若函数$f（x, y）$满足Lipschitz条件，则初值问题

$$\frac{dy}{dx} = f(x, y), \quad y(x_0) = y_0$$

在包含$x_0$的邻域内有唯一解。例如，$y' = y$，$y（0）=1$的解为$y=e^x$。

六、补充说明

洛必达法则：

用于求解$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\