关于“世界上最难的数学公式”这一问题，不同领域和评价标准下存在多种观点。综合数学史和现代数学研究的成果，以下公式常被列为最具挑战性的几类：

一、理论物理领域

薛定谔波动方程

描述微观粒子波动性质的方程，是量子力学的基础。其数学表达式复杂，求解需深入理解复数分析和微分方程，被许多物理学家视为“数学与物理的桥梁”。

杨-米尔斯公式

量子场论中的核心方程，涉及高维空间和复杂拓扑结构。其完备性框架中仍存在未解小问题，是数学与物理最深层次的未解之谜之一。

二、数学分析领域

纳维-斯托克斯方程

描述粘性不可压缩流体运动的偏微分方程，自1827年提出后仍无通用解析解。其复杂性在于非线性项和混沌特性，常被视为“数学史最难问题之一”。

黎曼猜想

虽然未直接以公式形式存在，但作为数论中的核心问题，其证明难度与纳维-斯托克斯方程相当。它涉及素数分布的深层规律，与密码学、计算机科学等领域密切相关。

三、其他高难度公式

欧拉公式：

$e^{i\pi} + 1 = 0$，以简洁形式蕴含复数域的深刻结构，被公认为“数学中最优美的公式之一”。

费马大定理：$a^n + b^n = c^n$（$n>2$）无正整数解，历经数百年研究，最终由 Andrew Wiles 证明，其证明过程涉及高级代数几何和数论。

四、应用与工程领域

傅里叶变换：虽在信号处理中应用广泛，但其逆变换和算法实现需深厚数学功底，常被视为“分析工具中的巅峰”。

总结

若以理论深度和未解难题为标准， 纳维-斯托克斯方程和 黎曼猜想常被视作最难的数学公式。若侧重数学结构的优雅性，则 欧拉公式更具代表性。不同领域对“最难”的定义差异，反映了数学本身的多元性和丰富性。