一元三次方程的求根公式主要基于卡尔丹公式，其核心思想是通过代数变换将一般形式的一元三次方程转化为特殊形式，再利用开立方和公式求解。以下是具体内容：

一、标准型与判别式

一元三次方程的标准形式为：

$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \quad (a \neq 0)$$

通过变量代换 $x = y - \frac{b}{3a}$，可化为：

$$y^3 + py + q = 0$$

其中：

$$p = \frac{3ac - b^2}{3a^2}$$

$$q = \frac{2a^2d - ab^2 + 27a^2c - 27bdc}{27a^3}$$

判别式 $\Delta$ 用于判断根的情况：

$$\Delta = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3$$

$\Delta > 0$：一个实根和一对共轭虚根；

$\Delta = 0$：三个实根，其中有一个两重根；

$\Delta < 0$：三个不相等的实根。

二、卡尔丹公式

根据判别式的值，方程的根可表示为：

当 $\Delta > 0$

设 $A = \sqrt{\left（\frac{q}{2}\right）^2 + \left（\frac{p}{3}\right）^3}$，$B = \sqrt{\left（\frac{q}{2}\right）^2 + \left（\frac{p}{3}\right）^3}$，则根为：

$$x_1 = A + B$$

$$x_2 = -\frac{A + B}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}(A - B)i$$

$$x_3 = -\frac{A + B}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}(A - B)i$$

当 $\Delta = 0$

设 $A = \sqrt{-\frac{q}{2} + \sqrt{\left（\frac{q}{2}\right）^2 + \left（\frac{p}{3}\right）^3}}$，$B = \sqrt{-\frac{q}{2} - \sqrt{\left（\frac{q}{2}\right）^2 + \left（\frac{p}{3}\right）^3}}$，则根为：

$$x_1 = 2A$$

$$x_2 = x_3 = -A$$

当 $\Delta < 0$

设 $\omega = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$，$\omega^2 = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$，则根为：

$$x_1 = A + B$$

$$x_2 = A\omega + B\omega^2$$

$$x_3 = A\omega^2 + B\omega$$

三、公式推导关键步骤

代换与化简

通过 $x = y - \frac{b}{3a}$ 将原方程化为 $y^3 + py + q = 0$，并引入参数 $A$ 和 $B$ 使得 $y = A + B\omega$ 满足方程。

构造二次方程

利用韦达定理构造二次方程 $t^2 + qt - \left（\frac{p}{3}\right）^3 = 0$，解得 $A$ 和 $B$ 的立方根。

开立方与组合

最终通过开立方和公式得到原方程的根。

四、示例

对于方程 $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$，代入公式可得：

$p = -6$，$q = 6$

$\Delta = 0$，对应 $A = \sqrt{-3}$，$B = \sqrt{3}$

根为 $x_1 = 3$，$x_2 = x_3 = 2$

五、注意事项

公式推导需注意复数域的运算规则；

实际应用中建议结合数值计算工具验证结果[1