矩阵计算公式是线性代数中的核心内容，以下是常用公式的整理与说明：

一、基本运算公式

矩阵加法

两个同阶矩阵$A$和$B$相加，结果矩阵$C$的元素满足：

$$c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} \quad (i,j=1}^n$$

即对应元素相加。

矩阵减法

结果矩阵$D$的元素为：

$$d_{ij} = a_{ij} - b_{ij} \quad (i,j=1}^n$$

即对应元素相减。

二、矩阵乘法

定义：

$m \times n$矩阵$A$与$n \times p$矩阵$B$相乘得到$m \times p$矩阵$C$，其中：

$$c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj} \quad (i=1}^m, j=1}^p$$

特性：

满足结合律：$A \times （B \times C） = （A \times B） \times C$

不满足交换律：$A \times B \neq B \times A$

满足分配律：$A \times （B + C） = A \times B + A \times C$。

三、转置矩阵

将矩阵$A$的行与列互换得到转置矩阵$A^T$，满足：

$$a_{ji} = a_{ij} \quad (i,j=1}^n$$

例如：若$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$，则$A^T = \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix}$。

四、行列式

计算$n$阶方阵$A$的行列式$|A|$：

$$|A| = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} \cdot M_{ij}$$

其中$M_{ij}$是$a_{ij}$的余子式。

五、逆矩阵

若矩阵$A$可逆，其逆矩阵$A^{-1}$满足：

$$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$$

其中$\text{adj}（A）$是$A$的伴随矩阵。

六、伴随矩阵

$n$阶方阵$A$的伴随矩阵$\text{adj}（A）$由代数余子式构成：

$$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{bmatrix}$$

其中$A_{ij} = （-1）^{i+j} M_{ij}$。

七、矩阵的秩

通过初等行变换将矩阵化为阶梯型，非零行数即为矩阵的秩：

$$r(A) = \text{阶梯型矩阵中非零行数}$$

列秩等于行秩，且不超过矩阵的阶数。

八、特殊运算

数乘：$kA = \begin{bmatrix} ka_{11} & ka_{12} & \cdots & ka_{1n} \\ ka_{21} & ka_{22} & \cdots & ka_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ ka_{m1} & ka_{m2} & \cdots & ka_{mn} \end{bmatrix}$。

以上公式为矩阵运算的基础，实际应用中需注意矩阵相乘