圆锥曲线的二级结论及推导是数学中关于圆锥曲线的重要性质，以下是主要结论及推导过程：

一、椭圆相关结论

焦点三角形面积公式

设椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上一点 $P$，焦点 $F_1, F_2$，则 $\angle F_1PF_2 = \theta$ 时，三角形面积 $S = b^2 \tan\frac{\theta}{2}$。

焦点弦长公式

过焦点 $F$ 的弦长公式：

- 椭圆：$|PF_1| \cdot |PF_2| = b^2（1 + \cos\theta）$

- 双曲线：$|PF_1| \cdot |PF_2| = b^2（1 - \cos\theta）$。

离心率与角度关系

- 椭圆：$e = \sin\theta \cdot \frac{\sin\angle F_1PF_2}{\sin\angle PF_1F_2 + \sin\angle PF_2F_1}$。

二、双曲线相关结论

焦点三角形面积公式

设双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上一点 $P$，焦点 $F_1, F_2$，则 $\angle F_1PF_2 = \theta$ 时，三角形面积 $S = b^2 \tan\frac{\theta}{2}$。

焦点弦长公式

- 双曲线：$|PF_1| \cdot |PF_2| = b^2（1 - \cos\theta）$。

离心率与角度关系

- 双曲线：$e = \sin\theta \cdot \frac{\sin\angle F_1PF_2}{\sin\angle PF_1F_2 - \sin\angle PF_2F_1}$。

三、抛物线相关结论

抛物线定义

抛物线是到定点（焦点）和定直线（准线）距离相等的点的轨迹，其标准方程为 $y^2 = 4ax$（焦点 $（a,0）$）。

切线与法线

抛物线上一点 $（x_0, y_0）$ 处的切线方程为 $yy_0 = 2a（x + x_0）$，法线方程为 $xx_0 = a（y + y_0）$。

四、几何性质

对称性

椭圆和双曲线关于长轴、短轴及原点对称；抛物线关于对称轴对称。

旋转不变性

圆锥曲线是旋转曲线，不同旋转角度下保持几何特性。

五、推导示例：椭圆焦点弦长公式

设椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，焦点 $F（c,0）$，过焦点的弦方程为 $y = k（x - c）$。联立椭圆方程，消去 $y$ 后利用韦达定理可推导出弦长公式。

以上结论及推导综合了代数与几何方法，建议结合具体题目类型进行练习和应用。