方差和标准差是统计学中用于衡量数据离散程度的核心指标，其计算公式如下：

一、总体方差与标准差

总体方差公式

对于总体数据 $x_1, x_2, \dots, x_n$，其平均数为 $\mu$，总体方差 $\sigma^2$ 计算公式为：

$$\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2$$

其中，$\sum$ 表示求和符号，$\mu = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$ 是总体均值。

总体标准差公式

总体标准差 $\sigma$ 是总体方差的平方根：

$$\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}$$

标准差与原始数据具有相同量纲，便于直观理解数据的离散程度。

二、样本方差与标准差

样本方差公式

对于样本数据 $x_1, x_2, \dots, x_n$，其样本均值为 $\bar{x}$，样本方差 $s^2$ 计算公式为：

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$$

使用 $n-1$ 作为分母（称为贝塞尔校正）可校正样本方差对总体方差的偏差。

样本标准差公式

样本标准差 $s$ 是样本方差的平方根：

$$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}$$

样本标准差是描述样本数据离散程度的常用指标。

三、补充说明

方差的性质：

方差越大，数据波动越大；方差越小，数据越集中。

方差衡量的是数据与均值的平均偏离程度。

标准差的应用：

标准差与原始数据单位一致，适合用于需要直观比较的场景。

在概率统计中，标准差常用于描述正态分布的形态。

以上公式适用于连续型数据，对于离散型数据，方差的计算方法类似，只需将求和符号 $\sum$ 替换为求和符号 $\sum_{i=1}^{n}$ 即可。