积的乘方是数学中的一种运算规则，指将积中的每个因数分别进行乘方运算，然后将结果相乘。具体规则和性质如下：

一、基本公式

积的乘方公式为：

$$(ab)^n = a^n \cdot b^n$$

其中，$a$ 和 $b$ 是任意实数，$n$ 是正整数。该公式同样适用于三个或更多因数的乘方运算，例如：

$$(abc)^n = a^n \cdot b^n \cdot c^n$$

二、公式推导说明

乘方定义：

$a^n$ 表示 $n$ 个 $a$ 相乘，即 $a \cdot a \cdot \ldots \cdot a$（共 $n$ 个 $a$）。

积的乘方展开：

$（ab）^n$ 表示 $n$ 个 $ab$ 相乘，即 $（ab） \cdot （ab） \cdot \ldots \cdot （ab）$（共 $n$ 个 $ab$）。

分配律应用：

将每个 $ab$ 展开为 $a \cdot b$，得到 $a \cdot a \cdot \ldots \cdot a \cdot b \cdot b \cdot \ldots \cdot b$（$a$ 出现 $n$ 次，$b$ 也出现 $n$ 次），即 $a^n \cdot b^n$。

三、性质与扩展

逆运算：

若 $a^n \cdot b^n = c^n$，则 $（ab）^n = c^n$。

同指数幂乘法：

$a^n \cdot b^n = （ab）^n$，反之亦然。

扩展到多个因数：

例如 $（a \cdot b \cdot c）^n = a^n \cdot b^n \cdot c^n$。

四、应用示例

计算 $（2x）^3$：

$$(2x)^3 = 2^3 \cdot x^3 = 8x^3$$

计算 $（a^2 \cdot b）^4$：

$$(a^2 \cdot b)^4 = (a^2)^4 \cdot b^4 = a^8 \cdot b^4$$

通过以上规则和性质，积的乘方运算可以简化复杂表达式的计算。