线性回归中的残差计算公式是衡量模型拟合效果的重要指标。以下是具体说明：

一、基本公式

对于一元线性回归模型：

$$y = \beta_0 + \beta_1 x + \epsilon$$

其中：

$y$ 是实际观测值

$\hat{y}$ 是模型预测值

$\epsilon$ 是误差项

残差 $e_i$ 的计算公式为：

$$e_i = y_i - \hat{y}_i$$

即实际观测值与预测值之间的差异。

二、多元线性回归扩展

对于多元线性回归模型：

$$y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \ldots + \beta_k x_k + \epsilon$$

残差计算公式同样适用：

$$e_i = y_i - \hat{y}_i$$

其中 $\hat{y}_i$ 是通过回归系数和自变量计算得到的预测值。

三、补充说明

残差平方和 （RSS）

用于衡量模型拟合优度，计算公式为：

$$SSR = \sum_{i=1}^n (y_i - \hat{y}_i)^2$$

其中 $n$ 是样本量。

最小二乘法

残差平方和最小化是线性回归的核心思想，通过求解偏导数找到最优回归系数 $\beta_0, \beta_1, \ldots, \beta_k$。

残差分析

通过分析残差分布（如正态性、独立性）可以评估模型假设的合理性，例如：

- 残差应为随机分布且均值为0

- 残差之间应无系统性偏差

四、示例

假设有数据点 $（x_1, y_1）, （x_2, y_2）, \ldots, （x_n, y_n）$，通过回归模型得到预测值 $\hat{y}_i$，则第 $i$ 个残差为：

$$e_i = y_i - \hat{y}_i$$

例如，实际值 $y_1 = 5$，预测值 $\hat{y}_1 = 4.8$，则残差 $e_1 = 5 - 4.8 = 0.2$。

通过以上公式和步骤，可以系统地计算和分析线性回归中的残差，从而评估模型性能并改进模型假设。