空间向量的数量积运算是向量分析中的重要内容，其定义、性质及运算规则如下：

一、数量积的定义

对于两个非零向量 a和 b，它们的数量积（点积）定义为：

$$

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta

$$

其中，$\theta$ 是向量 a与 b之间的夹角，取值范围为 $[0^\circ, 180^\circ]$。

二、几何意义

投影关系：

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ 等于向量 a的长度 $|\mathbf{a}|$ 与向量 b在 a方向上的投影长度 $|\mathbf{b}| \cos \theta$ 的乘积。

垂直判定：

若 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$，则向量 a与 b垂直，记作 $\mathbf{a} \perp \mathbf{b}$。

三、运算律

交换律：

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$。

分配律：

$\mathbf{a} \cdot （\mathbf{b} + \mathbf{c}） = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$。

数乘结合律：

$（\lambda \mathbf{a}） \cdot \mathbf{b} = \lambda （\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}） = \mathbf{a} \cdot （\lambda \mathbf{b}）$，其中 $\lambda \in \mathbb{R}$。

四、坐标表示

若向量 a和 b在空间直角坐标系中的坐标分别为 $\mathbf{a} = （x_1, y_1, z_1）$ 和 $\mathbf{b} = （x_2, y_2, z_2）$，则数量积的坐标运算公式为：

$$

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2

$$

此公式与几何定义一致，因为：

$$

x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta

$$

其中 $\theta$ 是向量 a和 b之间的夹角。

五、应用示例

例1：已知平行六面体 $ABCD-A'B'C'D'$ 中，$AB=5$，$AD=3$，$AA'=7$，$\angle BAD=60^\circ$，求 $\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AD}$。

解：根据坐标表示，$\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AD} = AB \cdot AD \cdot \cos \angle BAD = 5 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ = 5 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 7.5$。

例2：判断向量 $\mathbf{a}=（1,2,3）$ 与 $\mathbf{b}=（-1,1,0）$ 是否垂直。

解：计算 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 1 \cdot （-1） + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 0 = -1 + 2 + 0 = 1 \neq 0$，因此不垂直。

六、重要性质补充

模长公式：

$|\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}| = |\mathbf{a}|^2$，即 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = |a|^2$。

投影向量：

向量 $\mathbf{b}$ 在向量 $\mathbf{a}$ 上的投影