一、勾股定理的直接应用

已知直角边求斜边

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$，已知$a=6$，$c=10$，求$b$。 解：根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$，得$6^2 + b^2 = 10^2$，解得$b=8$。 *类似题型*：已知$a=40$，$b=9$，求$c$（$c=41$）。

已知斜边和直角边求另一直角边

已知$c=25$，$b=15$，求$a$。 解：$a^2 = c^2 - b^2 = 25^2 - 15^2 = 400 - 225 = 175$，得$a=5\sqrt{7}$。 *变式*：若$\angle A=30^\circ$，$a=10$，求斜边$c$（$c=20$）。

二、勾股定理的构造应用

构造直角三角形

在$\triangle ABC$中，$\angle B=90^\circ$，已知$AB=3$，$BC=4$，求$AC$。 解：直接应用勾股定理，$AC=\sqrt{3^2 + 4^2}=5$。 *扩展*：若$AD=13$，$CD=12$，求$AB$（$AB=5$）。

利用特殊角性质

在$\triangle ABC$中，$\angle A=30^\circ$，斜边$AB=20$，求直角边$BC$。 解：根据$30^\circ$角性质，$BC=\frac{1}{2}AB=10$，再由勾股定理求$AC=10\sqrt{3}$。 *变式*：若$\angle C=60^\circ$，$AC=4$，求$AB$（$AB=\frac{8\sqrt{3}}{3}$）。

三、勾股定理的实际应用

最短路径问题

四个村庄$A$、$B$、$C$、$D$位于正方形顶点，求联合架设线路的最短长度。 解：通过旋转坐标系，可将问题转化为求直角三角形的斜边，最终得出最短路径为$5\sqrt{2}$（单位长度）。

实际几何问题

一辆卡车高$2.5$米，宽$3$米，厂门宽度$4$米，问能否通过。 解：将卡车置于厂门中间，计算对角线高度$CH=\sqrt{1^2 + 1.5^2}=1.8028$米（$CD=2.5$米，$DH=0.5$米），$CH<2.5$米，故可通过。

四、综合应用示例

等腰三角形构造：

在直角三角形中，以斜边为底边作等腰三角形，可作出6个不同位置（如直角边为腰、斜边为腰等）。 面积计算：已知直角三角形三边比$3:4:5$，斜边长$20$，求面积（$S=\frac{1}{2}\times12\times16=96$）。

以上例题通过不同场景展示了勾股定理的灵活性，建议结合图形辅助理解，逐步掌握构造与计算技巧。