特征值和特征向量是线性代数中的核心概念，用于描述线性变换对特定向量的作用效果。

定义

特征向量：在线性变换下方向不变的向量。如果一个向量经过某个线性变换后，只是长度改变了但方向没变，那么这个向量就是该线性变换的一个特征向量。

特征值：特征向量对应的伸缩因子，即特征向量长度的变化比例。

数学表达

设 $A$ 是一个 $n$ 阶方阵，如果存在一个非零向量 $\vec{v}$ 和一个标量 $\lambda$，使得 $A\vec{v} = \lambda\vec{v}$，那么 $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的一个特征值，$\vec{v}$ 是对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量。

性质

存在性：对于 $n$ 阶方阵 $A$，它至少有一个特征值。

线性相关性：同一个特征值可能对应多个线性无关的特征向量，这些特征向量构成一个线性空间，称为特征空间。

重复性：一个特征值可能对应多个线性无关的特征向量，这意味着在某些情况下，一个特征值可能对应一个维度较高的特征空间。

应用

特征值和特征向量在数据分析、图像处理、动力学等领域有广泛应用，它们用于描述系统的重要特性，如振动频率、稳定性分析等。

总结：

特征值和特征向量是理解线性变换的关键概念，它们在理论数学和实际应用中都起着至关重要的作用。特征向量在线性变换下保持方向不变，仅发生长度上的伸缩，而特征值则量化了这种伸缩的幅度。一个线性变换可以有多个特征向量和对应的特征值。