柯西积分公式是复变函数理论中的核心工具，由法国数学家柯西于1831年提出，主要用于计算解析函数在某一点的值。以下是关于该公式的详细解析：

一、基本公式与原理

公式表述

设 $f（z）$ 在区域 $D$ 内解析，$C$ 是 $D$ 内包含点 $z_0$ 的简单闭曲线，则

$$f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz$$

该公式将函数在 $z_0$ 点的值与沿闭曲线 $C$ 的积分联系起来。

核心原理

解析函数具有全纯性，即在其定义域内可微。柯西积分公式体现了“微分等同于积分”的特性，通过积分路径上的函数值推导出中心点的函数值。

二、重要推论与扩展

柯西定理

若 $f（z）$ 在有界闭区域 $D$ 内解析，则沿 $D$ 边界的积分 $\oint_C f（z） \, dz = 0$。该定理是柯西积分公式的基础，适用于单连通或复连通区域。

柯西积分公式的高阶导数形式

通过多次分部积分，可将公式推广到高阶导数：

$$f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} \, dz \quad (n \geq 1)$$

该公式揭示了函数在某点的导数与积分的密切关系。

三、几何意义与物理应用

柯西积分公式在复分析中具有几何意义，可视为解析函数在某点的“局部分布”通过积分反映整体性质。此外，该公式在数学物理领域有广泛应用，如求解微分方程、电磁学问题等。

四、历史意义

柯西于1831年首次发表该公式，并在《分析与数学物理习题集》中系统化，成为复分析的奠基性成果之一。

综上，柯西积分公式通过积分路径与函数值的关系，揭示了解析函数的深刻性质，是复分析中不可或缺的核心工具。