扇形面积公式和弧长公式是几何学中常用的计算工具，以下是详细说明：

一、扇形面积公式

角度制公式

当圆心角以度数表示时，扇形面积公式为：

$$S = \frac{n\pi R^2}{360}$$

其中，$n$ 是圆心角度数，$R$ 是半径，$\pi$ 是圆周率。

弧长制公式

若已知弧长 $l$，扇形面积公式可简化为：

$$S = \frac{1}{2} l R$$

这一公式与三角形面积公式 $\frac{1}{2} \times 底 \times 高$ 类似，其中弧长 $l$ 作为底，半径 $R$ 作为高。

二、扇形弧长公式

角度制公式

当圆心角以度数表示时，弧长公式为：

$$l = \frac{n\pi R}{180}$$

其中，$n$ 是圆心角度数，$R$ 是半径，$\pi$ 是圆周率。

弧度制公式

若圆心角以弧度表示（记作 $\alpha$），弧长公式为：

$$l = \alpha R$$

这一公式在高等数学和工程计算中更为常用。

三、公式推导与示例

角度制与弧度的转换

360° 对应 $2\pi$ 弧度，因此：

$$\alpha = \frac{n\pi}{180}$$

将其代入弧长公式可得：

$$l = \frac{n\pi R}{180}$$

同样，面积公式也可转换为：

$$S = \frac{1}{2} \left( \frac{n\pi R}{180} \right) R = \frac{n\pi R^2}{360}$$。

示例计算

若半径 $R = 5$ cm，圆心角 $n = 60°$：

弧长：$l = \frac{60\pi \times 5}{180} = \frac{5\pi}{3}$ cm ≈ 5.24 cm

面积：$S = \frac{60\pi \times 5^2}{360} = \frac{25\pi}{6}$ cm² ≈ 13.09 cm²。

四、注意事项

公式中的 $\pi$ 通常取 3.14 或 $\frac{\pi}{180}$ 进行计算；

当圆心角为弧度时，面积公式简化为 $S = \frac{1}{2} l R$，需注意角度与弧度的转换。

以上公式适用于高中及以下阶段的数学学习，高等数学中会进一步探讨弧度制下的积分表示法。