向量三角形面积公式是向量分析中用于计算三角形面积的重要工具，其核心公式及推导方法如下：

一、基本公式

向量三角形面积公式为：

$$S = \frac{1}{2} | \mathbf{a} \times \mathbf{b} |$$

其中，$\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 是三角形的两条边向量，$\times$ 表示向量的叉乘，$|\cdot|$ 表示向量的模（长度）。

二、公式推导

向量叉乘的几何意义

向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的叉乘 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ 的模等于以 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 为邻边的平行四边形的面积，即：

$$| \mathbf{a} \times \mathbf{b} | = | \mathbf{a} | \cdot | \mathbf{b} | \cdot \sin \theta$$

其中 $\theta$ 是 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 之间的夹角。

三角形面积与平行四边形面积的关系

三角形面积是对应平行四边形面积的一半，因此：

$$S = \frac{1}{2} | \mathbf{a} \times \mathbf{b} |$$。

三、坐标表示

若已知三角形三个顶点坐标 $A（x_1, y_1）$、$B（x_2, y_2）$、$C（x_3, y_3）$，则边向量 $\mathbf{AB} = （x_2 - x_1, y_2 - y_1）$ 和 $\mathbf{AC} = （x_3 - x_1, y_3 - y_1）$，面积公式可表示为：

$$S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|$$

这是通过向量叉乘的坐标运算推导得出的。

四、注意事项

夹角范围

公式中的 $\sin \theta$ 需满足 $0 \leq \theta \leq \pi$，即两向量夹角在0到180度之间。

方向性

向量积的方向垂直于 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 所在平面，但面积计算仅取模长，方向不影响结果。

应用场景

该公式适用于已知两边及夹角，或已知顶点坐标的情况，计算效率较高。

五、示例计算

设 $\mathbf{a} = （2, 3）$，$\mathbf{b} = （4, -1）$，则：

$$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = 2 \cdot (-1) - 3 \cdot 4 = -2 - 12 = -14$$

$$S = \frac{1}{2} | -14 | = 7$$

通过以上公式和推导，向量三角形面积公式为解决几何问题提供了简洁有效的方法。